Cosa sono i numeri primi e a cosa servono

Spesso gli appassionati di matematica diventano dei veri e proprio amanti delle cifre, i numeri primi in questa ottica diventano delle amanti misteriose, quelle che tutti vorrebbero conquistare e capire ma che sembrano essere quasi una leggenda.

La storia narra che siano esseri misteriosi di cui non si sa il loro principio, da dove provengano e soprattutto voce di popolo dice che non abbiano fine.

Misteriosi ed intriganti, l’intento è quello di capire cosa siano realmente, se si tratti di qualcosa per cui è possibile capirne il funzionamento o se semplicemente bisogna amarli per ciò che sono senza farsi troppe domande.

Definizione numeri primi

I numeri primi fanno parte del più grande insieme dei numeri naturali, quelli che matematicamente vengono indicati con la lettera N che sta ad indicare tutte le cifre intere non negative, inoltre sono diversi da 0 e da 1.

Fin qui nulla di complicato anche se a volte l’1 viene considerato numero primo lui stesso, pur essendo questo un errore. Il difficile arriva dicendo che i numeri sono primi quando risultano divisibili solo per 1 e per se stessi, inoltre non hanno una cadenza ben definita, ma sembrano stati scelti casualmente senza alcun principio logico, 2,3,5,7,11,13,17,19.

Loro antagonisti sono i numeri composti, quelli che oltre a 1 e se stessi hanno altri moltiplicatori, tra cui proprio i numeri primi. A tal proposito, l’unico numero pari che risulta anche numero primo è il 2, tutti gli altri vedono tra i loro moltiplicatori anche il 2.

Quindi è possibile affermare che il 99% dei numeri primi sono dispari.

Tutto questo perché la matematica è un mondo affascinante, di cui però non ne esiste il premio Nobel.

Importanza dei numeri primi

Gli studi sui numeri primi sembra iniziarono con i Greci, che li ritennero subito importanti non solo per l’aritmetica, ma anche per algebra, geometria e crittografia.

I primi studi che sono pervenuti fino a noi sono quelli portati avanti da Euclide che elaborò anche il Teorema dell’infinità dei numeri primi, “Data una quantità arbitraria di numeri primi, esiste un numero primo diverso da questi.”  Sempre lui dimostra come sia possibile fattorizzare ogni numero intero in numeri primi, questo in quanto proprietà inversa rispetto a quella che segna la derivazione di tutti i numeri interi dalla moltiplicazione tra loro dei numeri primi.

Il Greco Eratostene invece elaborò un algoritmo che sarebbe in grado di determinare quali sono i numeri primi, quello che è conosciuto come Crivello di Eratostene, che procederebbe secondo una sorta di setaccio dei numeri in moda da rilevare quelli che tra loro sono divisibili solo per 1 e per se stesso.

Sono stati chiamati in questo modo per il loro essere base di tutti gli altri numeri, per identificarli è sufficiente eliminare quei numeri che hanno altri multipli oltre all’1 e se stessi. Lo zero e l’1 non sono considerati numeri primi perché in genere le leggi matematiche in loro presenza implicano la non validità dei teoremi ed eventuale riformulazione.

Dai Greci ad oggi sono stati molti gli studi portati avanti, tutti oltremodo complicati per una chiacchierata tra amici, ad ogni modo per giustificare l’applicazione si questi fattori nella vita pratica basta pensare agli svariati campi operativi in cui essi svengono costantemente applicati e in cui viene sfruttata la loro importanza, che nasce tutta dall’essere come detto in precedenza la base su cui si sviluppano tutti i numeri.

Uno degli usi molto interessanti che viene fatto dei numeri primi è quello che si applica per formazione dei sistemi di sicurezza a livello informatico.

L’informatica e i suoi algoritmi altro non sono che l’applicazione di regole matematiche ed ecco che i misteriosi numeri primi vengono in aiuto per preservare i dati di ogni singolo individuo.

 Numeri primi e sistemi informatici

Riemann nel suo libro “Origine dei numeri primi” elabora una funzione beta che sarebbe in grado di spiegare che i numeri primi nella loro distribuzione seguirebbero una regola e che quello non sia del tutto casuale come appare, ma al momento non esistono formule studiate che siano in grado di determinare numeri primi progressivi, sarebbe già un successo trovarne una in grado di determinare dei numeri primi random anche con intervalli di migliaia di altri numeri primi.

È su questo che si basano i software di sicurezza che vengono applicati alle banche dati; la posta elettronica, le transazioni bancarie, le carte di credito e le comunicazioni per telefonia mobile sono protette da chiavi segrete che si basano direttamente sulla proprietà dei numeri primi.

Più il numero primo applicato è grande, maggiore sarà la sicurezza che il sistema informatico offre.

In qualche modo, nuove scoperte su di essi e la possibilità di capirne la sequenza porterebbe a un frantumarsi della sicurezza da loro assicurata costringendo a trovare altri mezzi per salvaguardare la riservatezza dei dati stessi, come avviene nell’utilizzo comune di password improbabili.

Curiosando tra i numeri primi

Sono strani questi numeri primi sembrano l’ultima ruota del carro invece nella grande casa dei numeri sono le fondamenta, quelli su cui poggia una struttura infinita di combinazioni.

Sono dei VIP questi numeri primi e da tali si comportano, alcuni di essi sono così particolari che sono addirittura protagonisti di leggende più o meno metropolitane.

2

Come abbiamo detto il 2 è il primo e unico numero primo pari, i Pitagorici lo consideravano il numero femminile.

La congettura di Goldbach, afferma che ogni numero pari maggiore di 2 è la somma di 2 numeri primi.

3

Il 3 è il primo numero primo dispari, legenda dice che in lui risieda il numero perfetto, si sprecano i rimandi biblici a questo numero, come il famoso gallo che cantò 3 volte, in letteratura poi Dante nel suo viaggio tra Paradiso e Inferno ha impiantato su questo numero l’intera struttura della Divina Commedia.

Lewiss Carroll affermava che “se lo dico 3 volte è vero”, i Pitagorici lo ritenevano il numero maschile, la Terra è il terzo pian eta del Sistema Solare.

5

Per i Pitagorici è il numero del matrimonio, la somma di 2+3 fa esattamente 5. La maggior parte delle automobili ha 5 ruote ( considerando quella di scorta) e può portare 5 persone, il nostro alfabeto ha 5 vocali, ma non esiste una parola che le contiene tutte contemporaneamente, nonostante ce ne siano migliaia che contengono una sola delle vocali.

7

Sette sono le note della scala musicale e il numero che la maggior parte delle persone vi dirà se chiederete di pensare a un numero compreso tra 5 e 12; ci sono 7 numeri primi minori di 77 che hanno un 7 come cifra (7, 17, 37, 47, 67, 71, 73.

11

Tra i numeri primi palindromi è il più piccolo, in un orologio a lancette, mentre la lancetta delle ore fa un giro completo di 12 ore, quella dei minuti la interseca esattamente 11 volte.

13

È un numero primo le cui cifre se invertite formano un altro numero primo, inoltre 13² = 169 e, invertendo le cifre, 31² = 961.

La somma numeri primi da 2 a 13 è uguale al 13° numero primo: 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 41, che è il 13° numero primo.

17

Secondo una diffusa superstizione, trovarsi in 13 o 17 seduti a tavola è un brutto segno, oltre ad essere il 17 numero che tradizionalmente rappresenta la sfortuna.

Sommando tutti i numeri interi da 1 a 17, si ottiene 153, che è il 17° numero triangolare ed esattamente il numero di pesci che secondo ciò che viene scritto nell’ultimo Vangelo di Giovanni, in una pesca miracolosa sono stati presi nella rete.

19

Concludiamo con il 19 ma molto ci sarebbe ancora da dire sui numeri primi, è il più piccolo numero primo che è uguale al prodotto delle sue cifre più la somma delle sue cifre: 19 = (9 x 1) + (9 + 1) = 9 + 10

Nel papiro di Rhind, del 1650 a.C. c’è il seguente problema: trovare un numero (decimale) che sommato alla sua settima parte dia come risultato 19: x + x/7 = 19.

19 è il più piccolo numero primo tale che invertendo l’ordine delle sue cifre si ottiene un numero composto: 91 = 7 x 13, se si capovolge il 19, si ottiene 61 che è ancora un numero primo, è il più piccolo numero primo che ha questa proprietà.